Keynes'in güzellik yarışması
John Maynard Keynes, 1936'da yayımlanan Genel Teori'nin 12. bölümünde profesyonel yatırımcılığı o dönemin gazete yarışmalarına benzetti. Okurlardan yüz fotoğraf arasından en güzel altı yüzü seçmeleri istenir, ödül ise seçimi bütün katılımcıların ortalama tercihine en çok yaklaşan kişiye verilir. Keynes'e göre böyle bir yarışmada akıllı oyuncu kendi beğendiği yüzleri değil, öbür yarışmacıların hoşuna gideceğini düşündüğü yüzleri seçer; üstelik herkes soruya aynı gözle bakmaktadır.
Keynes bir adım daha ileri gider: mesele ortalama görüşün gerçekten en güzel bulduğu yüzleri tahmin etmek de değildir. 'Üçüncü dereceye' ulaşmışızdır; zekâmızı, ortalama görüşün ortalama görüşü ne sanacağını kestirmeye harcarız. Keynes'in deyişiyle dördüncü, beşinci ve daha yüksek dereceleri uygulayanlar da vardır. Başkalarının ne düşüneceğini düşünmek zorunda kaldığımız durumlara bu yüzden bugün hâlâ 'Keynes güzellik yarışması' deniyor. Keynes bunu bir düşünce deneyi olarak anlatmıştı; ölçülebilir bir deneye dönüşmesi için yarım yüzyıldan fazla beklemek gerekti.
Yüzlerden sayılara: Nagel'in deneyi
Sayılarla oynanan sürüm, oyun kuramı kitaplarında akıl yürütmeyi anlatmak için bir örnek olarak biliniyordu; Rosemarie Nagel oyunu Roger Guesnerie'nin bir dersinde tanıdığını yazar. Nagel'in fark ettiği şey şuydu: Keynes'in yarışmasında çarpan 1'dir ve herkes ortalamayı tutturmaya çalıştığı için kimin kaç adım düşündüğü anlaşılmaz. Çarpan 2/3 olunca her düşünme adımı farklı bir sayıya karşılık gelir: 50, 33, 22, 15 ve en sonunda 0. Böylece seçilen sayı, kişinin zihninde kaç kat 'o ne düşünür' hesabı yaptığını ele verir.
Nagel'in 1995'te yayımlanan deneylerinde 15–18 öğrenci büyük bir sınıfta, birbirleriyle konuşamayacak biçimde oturdu ve oyunu dört el oynadı. Her elden sonra bütün sayılar, ortalama ve hedef tahtaya yazıldı; kazanan 20 Alman markı aldı. Çarpanın 2/3 olduğu oturumlarda ilk elin ortalaması 36,73'tü ve seçimler 33 ile 22 çevresinde belirgin biçimde yığıldı. Sonraki ellerde sayılar her seferinde aşağı kaydı; dördüncü elde dört oturumun üçünde ortalama 10'un altındaydı. Yine de dört elin sonunda 2/3 oturumlarında 1'in altında bir sayı söyleyen yalnızca bir kişi vardı.
Kaç adım ileriyi düşünüyoruz?
Bu tabloyu açıklayan modellere 'düzey-k' (level-k) ya da 'bilişsel hiyerarşi' modelleri deniyor. En alttaki 0. düzey oyuncu stratejik düşünmez, rastgele seçer; ortalaması 50 olur. 1. düzey oyuncu herkesin böyle davrandığını varsayar ve 33 der. 2. düzey oyuncu herkesi 1. düzey sanar ve 22 der. Her basamak bir öncekinin üçte ikisidir; basamaklar sonsuza kadar sürdürülürse 0'a, yani oyunun tek dengesine varılır. Sorun şu ki gerçek kalabalık hiçbir zaman o basamağın sonuna gitmez.
Camerer, Ho ve Chong'un 2004'te Quarterly Journal of Economics'te yayımladığı bilişsel hiyerarşi modelinde her oyuncu, öbürlerinin kendisinden daha alt basamaklarda dağıldığını varsayar. Model pek çok farklı oyunun verisine, insanların ortalamada yaklaşık 1,5 adım düşündüğü varsayımıyla iyi uyuyor. Yazarların derlediği tabloda aynı oyunu oynayan üst düzey yöneticilerin ortalaması 37,9, portföy yöneticilerinin 24,3, oyun kuramcılarının 19,1'di. Uzmanlık ve eğitim sayıları düşürüyor ama kimseyi sıfıra götürmüyor.
Gazete okurları ne seçti?
1990'ların sonunda oyun laboratuvardan çıkıp gazetelere taşındı. Richard Thaler 1997'de Financial Times'ta, Antoni Bosch-Domènech ve Rosemarie Nagel İspanyol ekonomi gazetesi Expansión'da, Reinhard Selten ve Nagel de Alman bilim dergisi Spektrum der Wissenschaft'ta okurlara aynı soruyu sordu. Ödüller arasında New York'a ya da Chicago'ya iki uçak bileti de vardı. Bosch-Domènech ve arkadaşlarının 2002'de bir araya getirdiği verilere göre toplam yaklaşık 7.900 kişi katıldı.
Ortalamalar Financial Times'ta 18,9, Expansión'da 25,5, Spektrum'da 22,1 çıktı; kazanan sayılar 13, yaklaşık 17 ve 14,7'ydi. En sık seçilen sayılar laboratuvardakilerle aynıydı: 33, 22 ve denge değerleri olan 0 ile 1. Kendiliğinden katılan, analitik düşünmeyi seven gazete okurları öğrencilerden daha fazla adım düşündü. Bazı okurlar işi şansa bırakmadı: Spektrum yarışmasında kendi küçük deneyini yaptığını söyleyen 21 kişinin yarısı 12 ile 17 arasında bir sayı seçerken, tüm katılımcılarda bu oran yalnızca %14'tü.
Tekrar ettikçe sıfıra mı iniyoruz?
Nagel'in en ilginç bulgularından biri ellerin dinamiğiydi. İlk elde insanlar 50 gibi bir başlangıç noktasından bir iki adım aşağı iniyordu; sonraki ellerde ise başlangıç noktası, bir önceki elin tahtaya yazılan ortalaması oldu. Pek çok katılımcı yine bu yeni noktadan bir iki adım aşağıyı seçti. Böylece kimse tek seferde sıfıra atlamadan, kalabalık her elde biraz daha aşağı kaydı. Nagel bu davranışı, bir önceki eli gözlemleyip ona en iyi cevabı vermeye benzetiyor.
Bizim deneyimiz bu tekrarlı tasarımın internet uyarlaması. Rakiplerin aynı odada değil, senden önce oynamış ziyaretçiler; ama her elden sonra senin gördüğün ortalamayı onlar da görmüştü. Bu yüzden 2., 3. ve 4. ellerdeki düzeyleri, Nagel'in yaptığı gibi bir önceki elin ortalamasını başlangıç alarak hesaplıyoruz. Kalabalık büyüdükçe ellere göre ortalamanın ne kadar hızlı düştüğünü ve sıfıra ne kadar yaklaştığını göreceğiz. Nagel'in çarpanı değiştirdiği oturumlar da bu yönün kurala bağlı olduğunu gösteriyor: çarpan 1/2 olduğunda ilk elin ortalaması 27,05'e indi, 4/3 olduğunda ise 60,12'ye çıktı. 4/3 oturumlarında hedef ortalamanın üstünde kaldığı için sayılar bu kez yukarı itildi; üçüncü elde %59'u, dördüncü elde %68'i 100'ü seçti. Yani insanlar hangi yöne gidileceğini çabuk kavrıyor, ama o yolda kaç adım atacaklarına kalabalığa bakarak karar veriyor.
Doğru cevap 0 mı?
Kâğıt üzerinde evet: herkes kusursuz düşünüyor ve herkes bunu biliyorsa tek tutarlı cevap 0'dır. Ama oyunu kazanmak için gereken şey kusursuz mantık değil, kalabalığın ne yapacağını doğru tahmin etmek. Nagel'in 2/3 oturumlarında ilk elde kazandıracak sayı 25 civarındaydı; gazete yarışmalarında kazanan sayılar 13 ile 17 arasında kaldı. İlk elde 0 diyen biri, oyunu en iyi anlayan kişi olsa bile büyük olasılıkla kaybederdi. Camerer, Ho ve Chong'un derlediği verilerde de en düşük ortalamalar, oyunu en iyi bilen gruplardan, örneğin oyun kuramcılarından geliyordu; ama onların ortalaması bile sıfırdan belirgin biçimde uzaktı.
Bu ders gündelik hayatta da karşımıza çıkıyor: bir hisseyi herkesten önce satmaya çalışmak, bir modanın ne zaman söneceğini kestirmek ya da bir ihaleye girecek rakiplerin ne teklif edeceğini düşünmek. Her birinde iyi bir karar, yalnızca kendi muhakememize değil, başkalarının kaç adım düşündüğüne dair gerçekçi bir tahmine dayanır. Bu deneyde de en iyi strateji, kalabalığı küçümsemek ya da gözünde büyütmek değil, onu doğru okumak.