Bir yarışma, üç kapı
Sorunun adı, ABD'de 1963'ten 1990'a kadar yayımlanan 'Let's Make a Deal' yarışmasının sunucusu Monty Hall'dan geliyor. Bulmacayı ilk kez kâğıda döken ise istatistikçi Steve Selvin'di: 1975'te The American Statistician dergisine yazdığı iki mektupta, yarışmadan esinlenen bu soruyu ortaya attı ve seçimi değiştirmenin kazanma şansını ikiye katladığını gösterdi. İkinci mektup 'Monty Hall problemi' adının bilinen ilk kullanımı kabul ediliyor.
Problem asıl şöhretini 1990'da kazandı. Parade dergisinde 'Ask Marilyn' köşesini yazan Marilyn vos Savant, bir okurun sorusuna 'değiştirin, kazanma şansınız 2/3 olur' diye cevap verdi. New York Times'ın 1991'deki haberine göre vos Savant yaklaşık 10.000 mektup aldı ve bunların büyük çoğunluğu ona katılmıyordu. Eleştirel mektupların 1.000'e yakını doktoralı kişilerce, çoğu da matematik ve fen bölümlerinin antetli kâğıtlarıyla yazılmıştı. Haberde, bu eleştirmenlerin önemli bir kısmının sonunda hatalarını kabul ettiği ama pek azının düzeltme mektubu yazdığı da aktarılıyor.
Neden 2/3?
Arabanın üç kapıdan birinin arkasında rastgele durduğunu ve senin 1 numaralı kapıyı seçtiğini düşün. Üç durum eşit olasılıklı. Araba 1'deyse sunucu 2 ya da 3'ü açar; kalırsan kazanırsın, değiştirirsen kaybedersin. Araba 2'deyse sunucu mecburen 3'ü açar; değiştirirsen kazanırsın. Araba 3'teyse sunucu mecburen 2'yi açar; yine değiştirirsen kazanırsın. Üç durumun ikisinde değiştirmek kazandırıyor.
Sezgiyi düzeltmenin bir yolu kapı sayısını büyütmek: 100 kapıdan birini seçtiğini, arabanın yerini bilen sunucunun kalan 99 kapıdan 98'ini açıp hepsinde keçi gösterdiğini düşün. Geriye senin kapın ve özenle 'kurtarılmış' tek bir kapı kalır. İlk seçiminin şansı hâlâ 1/100'dür; geri kalan 99/100 o tek kapıda toplanmıştır. Kilit nokta, sunucunun rastgele değil, bilerek ve kurala bağlı biçimde davranması.
Neden yerimizde kalıyoruz?
Laboratuvar çalışmaları insanların inatla kaldığını gösteriyor. Mueser ve Granberg'in 1999'daki deneyinde soruyla ilk kez karşılaşanların yalnızca %11 ile %19'u kapı değiştirdi; yazarlar bu oranların Granberg ve Brown'ın (1995) önceki bulgularıyla aynı aralıkta olduğunu belirtiyor. Granberg'in kültürlerarası çalışması, Brezilya, Çin, İsveç ve ABD'deki öğrencilerde de aynı kalma eğilimini buldu.
İki açıklama öne çıkıyor. Birincisi eşit olasılık yanlılığı: belirsiz durumlarda kalan seçeneklere eşit şans verme alışkanlığı. İkincisi pişmanlık: Granberg ve Brown, insanların değiştirip kaybetmenin yaratacağı pişmanlıktan, kalıp kaybetmekten daha çok korktuğunu öne sürdü. Krauss ve Wang (2003) ise soruyu farklı sunmanın işe yaradığını gösterdi: olasılıklar yerine doğal sıklıklarla düşünmek ('bu oyunu 3 kez oynasam') ve sunucunun bakış açısına geçmek, doğru cevabı verenlerin oranını belirgin biçimde artırdı.
Güvercinler matematikçilerden akıllı mı?
Bu soruyu 2010'da bir makalenin başlığına taşıyan Herbranson ve Schroeder, güvercinlere tuşlu bir düzenekte Monty Hall oyununu tekrar tekrar oynattı. İlk gün güvercinler denemelerin yaklaşık %36'sında değiştiriyordu; 30. günde bu oran %96'ya çıktı ve kazanma oranları teorik 2/3'e yaklaştı. Aynı düzeneği 200 deneme boyunca oynayan üniversite öğrencileri ise sonunda yaklaşık %66 oranında değiştiriyordu. Yazarlar, makalelerinde Hoffman'ın biyografisine dayanarak, ünlü matematikçi Paul Erdős'ün de ancak bir bilgisayar simülasyonu gördükten sonra ikna olduğunu aktarıyor.
Hikâye bu kadar basit değil. Mazur ve Kahlbaugh'un 2012'deki çalışmasında üniversite öğrencileri değiştirmeye güvercinlerden çok daha çabuk geçti; üç grupta da bazı bireyler en iyi stratejiye yaklaştı ama çoğu yaklaşamadı. Değiştirmenin %90 kazandırdığı bir koşulda ise neredeyse herkes öğrendi. Yazarlara göre asıl zorluk, 1/3 ile 2/3 arasındaki farkı deneyimden ayırt edebilmek.
Kurallar her şeydir
Monty Hall'un kendisi de bir tuzağa dikkat çekmişti. 1991'de New York Times muhabiriyle evinde oynadığı denemelerde, yarışmacı yanlış kapıyı seçtiğinde o kapıyı hemen açıp keçiyi verdi, doğru kapıyı seçtiğinde ise değiştirme teklif etti. Programın kurallarına göre değiştirme teklif etmek zorunda değildi ve çoğu zaman etmezdi. Böyle bir sunucuya karşı değiştirmek her seferinde kaybettirir. Benzer şekilde sunucu arabanın yerini bilmeden rastgele bir kapı açsaydı ve şans eseri keçi çıksaydı, iki kapının olasılıkları eşitlenirdi.
Bizim deneyimizde kurallar sabit ve açık: sunucu arabanın yerini biliyor, her zaman keçili bir kapı açıyor ve her zaman değiştirme hakkı veriyor. Bu kurallar altında, ziyaretçilerin kendi oyunlarından biriken 'kal' ve 'değiştir' kazanma oranları, kalabalık büyüdükçe 1/3 ve 2/3'e yaklaşmalı.
On oyun ve yüz kapı: sezgi düzeltilebilir mi?
Monty Hall üzerine yapılan çalışmaların ortak bulgusu, insanların deneyimle bir ölçüde öğrendiği ama nadiren tam öğrendiği. Elisabet Tubau ve arkadaşlarının 2015 tarihli derlemesi, oyun tekrarlandıkça değiştirme oranının pek çok çalışmada yükseldiğini, ama yüksek ödüller olmadığında katılımcıların büyük çoğunluğunun kalma alışkanlığını sürdürdüğünü özetliyor. Yazarlar iki engel tanımlıyor: iki kapı kalınca olasılıkları eşit sanma yanılsaması ve kendi seçimini bırakıp kaybetmenin yarattığı pişmanlık korkusu. İkinci elimizdeki canlı sayaçlar ilk engele karşı doğrudan bir ipucu: on oyun boyunca 'değiştir' sayacının 'kal'ı geçip geçmediğini kendi gözünle izliyorsun.
Kapı sayısını büyütmek ise problemin en bilinen çözüm anahtarı; Marilyn vos Savant da sezgiyi düzeltmek için bir milyon kapılı bir örnek kullanmıştı. Wei James Chen ve Joseph Tao-yi Wang 2020'de bunu laboratuvarda sınadı: Ulusal Tayvan Üniversitesi'nden 40 öğrencinin yarısı önce 15 tur 100 kapılı, sonra 15 tur 3 kapılı oyunu oynadı; diğer yarısı 30 tur boyunca hep 3 kapıyla oynadı. 100 kapıyla başlayanların %90'ı ilk turda değiştirdi ve üç tur içinde neredeyse hepsi değiştirmeye geçti; 3 kapılı oyuna döndüklerinde de değiştirme oranları (%86) kontrol grubundan (%77) yüksekti. Ama sezgi kolay pes etmiyor: Stibel ve arkadaşlarının tek seferlik deneylerinde, 99 kapıdan 98'i açıldıktan sonra bile katılımcıların %30 ile %50'si ilk kapısında kaldı.