Cetvelde 150 nerede?
Bir doğrunun bir ucuna 0, öbür ucuna 1000 yazıp yedi yaşındaki bir çocuğa '150 nerede?' diye sorarsan, işareti çoğu zaman olması gerekenden çok daha sağa koyar; küçük çocukların tahminleri küçük sayılara doğrunun büyük bir kısmını ayırır. Bir yetişkin ise işareti yaklaşık yüzde 15'lik noktaya koyar. Aradaki fark, sayıların zihnimizde nasıl dizildiğine dair ilginç bir pencere açar.
Bu deneyde yirmi sayıyı iki farklı doğruya yerleştiriyorsun: sekizini 0–100 doğrusuna, on ikisini 0–1000 doğrusuna. Sonunda tahminlerini sayıların gerçek değerlerine karşı bir grafiğe döküyoruz ve iki modelle karşılaştırıyoruz: eşit aralıklı bir cetvel gibi düz bir çizgi mi, yoksa küçük sayılara fazla yer ayıran logaritmik bir eğri mi?
Siegler ve Opfer'ın deneyi
Robert Siegler ve John Opfer 2003'te Psychological Science'ta yayımladıkları çalışmada ikinci, dördüncü ve altıncı sınıf öğrencilerine ve üniversite öğrencilerine aynı görevi verdi. 0–1000 doğrusunda ikinci sınıfların ortanca tahminleri logaritmik bir eğriye çok iyi uyuyordu: eğri varyansın yüzde 95'ini açıklarken düz bir çizgi yalnızca yüzde 63'ünü açıklıyordu. Dördüncü sınıflar arada kalıyordu; altıncı sınıflarda ve yetişkinlerde doğrusal model varyansın neredeyse tamamını açıklıyordu.
Çalışmanın en ilginç bulgusu bağlamla ilgiliydi. Aynı ikinci sınıflar 0–100 doğrusunda çok daha doğrusal tahminler yapıyordu. Siegler ve Opfer'a göre çocuklar tek bir sayı temsiline sahip değildi; birden çok temsil arasında bağlama göre seçim yapıyorlardı ve yaşla birlikte doğru olanı daha sık seçiyorlardı.
Bir geri bildirim yetebilir
Bu değişim nasıl oluyor? Opfer ve Siegler 2007'de logaritmik tahmin yapan ikinci sınıflara bazı sayılarda doğru yeri gösterdi. En büyük etkiyi, doğrusal ve logaritmik temsillerin en çok ayrıştığı sayılardaki geri bildirim yaptı. Değişim şaşırtıcı ölçüde ani ve genişti: çoğu zaman tek bir geri bildirimden sonra, 0 ile 1000 arasındaki bütün tahminler birden düzleşiyordu.
Booth ve Siegler 2006'da anaokulundan dördüncü sınıfa kadar çocuklarda sayı doğrusu dahil dört farklı tahmin görevinde aynı gelişimi buldu: doğrusal temsillere giderek daha çok, logaritmik temsillere giderek daha az dayanma. Bütün tahmin becerileri matematik başarı testlerindeki puanlarla olumlu ilişkiliydi.
Okulsuz bir sayı doğrusu
Logaritmik sezgi yalnızca çocuklarda mı var? Dehaene, Izard, Spelke ve Pica 2008'de Science'ta, çok az okul eğitimi almış ve sayı sözcükleri sınırlı olan Amazon yerlisi Mundurukularla çalıştı. Mundurukular her yaşta hem nokta kümelerini hem de sayıları logaritmik bir ölçeğe yerleştiriyordu. Batılı yetişkinler ise küçük ya da rakamla yazılmış sayılarda doğrusal, saymayı engelleyen nokta bulutlarında logaritmik yerleştiriyordu.
Yazarlara göre sayıları uzaya yerleştirme sezgisi evrenseldir ve bu ilk sezgi logaritmiktir; eşit aralıklı doğrusal sayı doğrusu ise biçimsel eğitim olmadan gelişmeyen kültürel bir buluştur. Bu güçlü yorum sonraki yıllarda tartışıldı.
Temsil mi, oran mı?
Barth ve Paladino 2011'de farklı bir açıklama önerdi: sayı doğrusu görevi aslında bir oran yargısıdır. '150, 1000'in ne kadarı?' sorusunu cevaplarken insanlar doğrunun uç noktalarını ve ortasını referans alır; algısal oran yargısı modelleri, logaritmik görünen eğrileri de açıklayabilir. Bu görüşe göre bir 'logaritmikten doğrusala geçiş' varsaymaya gerek olmayabilir; değişen, oran tahmininin inceliğidir.
Anobile, Cicchini ve Burr 2012'de yetişkinlerden nokta bulutlarını bir doğruya yerleştirmelerini istedi. Normal koşulda yetişkinler doğrusal yerleştiriyordu; ama aynı anda dikkat isteyen başka bir görev verildiğinde yerleştirmeler sıkışan, logaritmiğe benzer bir eğriye dönüşüyordu. Doğrusal sayı doğrusu, kendiliğinden gelen bir sezgi değil, dikkat isteyen bir araç gibi görünüyor.
Puanın ve grafiğin
Her sayının puanı, koyduğun yerle gerçek yer arasındaki uzaklığın doğrunun uzunluğuna oranından hesaplanır: 10 / (1 + (hata / %5)^1,6). Doğrunun yüzde 2'si kadar hata yaklaşık 8 puan, yüzde 5'i 5 puan, yüzde 10'u yaklaşık 2,5 puan getirir. Bir elin puanı dört sayının ortalamasıdır; beş elden en fazla 50 puan toplanır.
Sonuç ekranındaki grafikte her nokta bir sayıdır: yatayda sayının kendisi, dikeyde senin koyduğun yer. Kesik çizgi kusursuz cevaptır. Turuncu doğru noktalarına en iyi uyan düz çizgi, mavi eğri en iyi uyan logaritmik eğridir; R² 1'e ne kadar yakınsa model o kadar iyi uyuyor demektir. Birkaç sayıyla bu iki model kolayca birbirine yaklaşabilir; R² değerleri yakınsa farkı abartma.